MZI 전기광학 변조기 이론 및 수식 유도 가이드

Step 1.1: 파수(Wavevector) 및 규격화 주파수(V-number) 정의

자유공간 파수를 k₀ = 2π / λ 라 할 때, 코어(n_core)와 클래딩(n_cladd) 간의 횡방향 규격화 주파수 V_x, V_y는 다음과 같이 정의됩니다:

Step 1.2: 횡방향 가우시안 모드 필드 차단 수식

Marcatili 근사법에 따라 횡방향 전계 차단 정수(Transverse Decay Constant)를 반영한 차원별 유효굴절률 감소항을 계산합니다:

Step 1.3: 최종 단일 모드 유효굴절률(n_eff0) 합성

X축과 Y축 구속 효과를 합성한 3차원 기본 모드(TE₀₀)의 유효굴절률 n_eff0는 다음과 같이 도출됩니다:

※ 이 때 유효굴절률은 항상 물리적 범위를 만족합니다: n_cladd < n_eff0 < n_core

Step 2.1: 감쇄 정수(γ) 및 결합 계수(K) 도출

클래딩 내부로 침투하는 소모성 전계의 감쇄 정수 γ는 다음과 같습니다:

두 도파로 간의 단위 길이당 모드 결합 계수 K(G)는 간격 G에 따라 지수함수적으로 감소합니다:

어디서 K₀ = [ 2 · k₀² · (n_core² - n_cladd²) ] / [ k₀ · n_eff0 · w ] 입니다.

Step 2.2: Even / Odd 모드 유효굴절률 분리

Coupled Mode Theory (CMT) 결합 행렬의 고유값(Eigenvalue)을 풀면 우모드(Even)와 기모드(Odd)의 굴절률이 각각 상하로 분리됨을 증명할 수 있습니다:

Step 3.1: 굴절률 변조량 (Δn) 도출

전극 간격 g_elec에 인가된 전압 V에 의해 형성되는 전기장 E = V / g_elec 입니다. Pockels 효과에 의한 굴절률 변화량 Δn은 다음과 같습니다:

Step 3.2: Arm별 위상 지연량 (φ₁, φ₂) 도출

유효 전극 작용 길이 L_elec를 통과할 때 전압 V₁, V₂에 의해 발생하는 광학적 위상 지연량 φ₁, φ₂는 다음과 같습니다:

Step 3.3: 반파장 전압 (V_π) 공식 완전 유도

푸시풀(Push-Pull) 구동 조건(V₁ = -V₂ = V/2)에서 두 Arm 간 위상차 Δφ = |φ₁ - φ₂| 가 π (180°)가 되는 전압 V = V_π 라 정의합니다:

양변에서 π를 약분하고 V_π에 대해 정리하면 최종 수식이 완벽히 도출됩니다:

입력 전계 E_in이 Y-Branch에서 두 개로 분할된 후(E₁ = E₂ = E_in / √2), 각 Arm을 통과하여 출력단에서 다시 합성될 때의 복소 전계 E_out은 다음과 같습니다:

출력 광강도 I_out = |E_out|² 계산 과정:

삼각함수 반각 공식 1 + cos(x) = 2 · cos²(x/2) 를 적용하면 최종 MZI 간섭 수식이 도출됩니다: